A.2 Momento Angular y sus Propiedades

Consideremos una partícula caracterizada por sus tres coordenadas cartesianas $x$, $y$, $z$ y sus tres momentos conjugados $p_x$, $p_y$, $p_z$. El momento angular respecto al origen se define, igual que la teoría clásica, por: \begin{align}\mathbf{L}=\mathbf{x}\times\mathbf{p}, \end{align} o bien por su forma tensorial \begin{align}L_k=\xi_{ijk}x_ip_j.\end{align} Ahora, calculando los conmutadores de las componentes del momento angular con las coordenadas cartesianas se tiene\begin{align*}[L_i,x_j]&=[\xi_{ikm}x_kp_m,x_j]\\&=\xi_{ikm}\left(x_k[p_m,x_j]+[x_k,x_j]p_m\right)\\&=\xi_{ikm}\left(-i\hbar x_k\delta_{mj}\right)\\&=i\hbar\,\xi_{imk}\left(x_k\delta_{mj}\right)\\ &=i\hbar\,\xi_{ijk} x_k,\end{align*}análogamente, los conmutadores de las componentes del momento angular con los momentos conjugados de la partícula \begin{align*}[L_i,p_j]&=[\xi_{imk}x_mp_k,p_j]\\&=\xi_{imk}\left(x_m[p_k,p_j]+[x_m,p_j]p_k\right)\\ &=\xi_{imk}\left(i\hbar \delta_{mj}\right)p_k\\&=i\hbar\,\xi_{ijk} p_k,\end{align*} finalmete, de estos dos resultados los conmutadores de las componentes del momento angular consigo mismas son\begin{align*}[L_i,L_j]&=[L_i,\xi_{jmn}x_mp_n]\\&=\xi_{jmn}([L_i,x_m]p_n+x_m[L_i,p_n])\\&=i\hbar(\xi_{jmn}\xi_{imr}\,x_rp_n-\xi_{jmn}\xi_{ikn}\,x_mp_k)\\&=i\hbar(\delta_{ji}\delta_{nr}-\delta_{jr}\delta_{ni})x_rp_n-i\hbar(\delta_{ji}\delta_{mk}-\delta_{jk}\delta_{mi})x_mp_k\\&=i\hbar(x_ip_j-x_jp_i)\\\hspace{8cm}&=i\hbar\xi_{ijk}x_ip_j=i\hbar L_k.\hspace{10.9cm}(1)\end{align*}Repitiendo este tipo de argumento con rotaciones sobre los ejes, obtenemos \begin{align*}[L_i,L_j]=i\hbar\xi_{ijk}L_k,\end{align*} conocidas como las relaciones fundamentales de conmutación del momento angular las cuales se pueden escribir en notación vectorial como \begin{align}\hspace{10.5cm}\textbf{L}\times\textbf{L}=i\hbar \textbf{L}.\hspace{10.5cm}(2)\end{align}Supongamos ahora que existan varias partículas de momentos angulares $\textbf{L}_1,\textbf{L}_2,\dots$ Cada uno de estos momentos angulares vectoriales verificará la relación $(2)$, o sea,  \begin{align}\textbf{L}_r\times\textbf{L}_r=i\hbar \textbf{L}_r.\end{align} Luego si $\textbf{J}=\sum_r \textbf{L}_r$ es el momento angular total,\begin{align} \textbf{J}\times\textbf{J}&=\sum_{rs}\textbf{L}_r\times \textbf{L}_s=\sum_{r}\textbf{L}_r\times \textbf{L}_r+\sum_{r<s}(\textbf{L}_r\times \textbf{L}_s+\textbf{L}_r\times \textbf{L}_s)\\&=i\hbar\sum_r \textbf{L}_r=i\hbar\textbf{J}.\end{align} Este resultado es de la misma forma que $(2)$, y por tanto, las componentes del momento angular total $\textbf{J}$ de cualquier número de partículas verifican las mismas relaciones de conmutación que el momento angular de una sola partícula.

Sean $A_i$ con $i=1,2,3$ las tres coordenadas o las tres componentes del momento de una de las partículas. Estas conmutarán con los momentos angulares de las otras partículas, de la misma forma que lo hace una sola partícula, es decir,\begin{align}\hspace{9.75cm}[J_i,A_j]=i\hbar\xi_{ijk}A_k.\hspace{9.75cm}(3)\end{align} Si $B_i$ con $i=1,2,3$ es un segundo conjunto de tres cantidades que representan las tres coordenadas o las tres componentes del momento de otra de las partículas, también verificarán relaciones similares a $(3)$. Tendremos entonces \begin{align} [J_z,A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z]&=[J_z,A_xB_x]+[J_z,A_yB_y]\\&=[J_z,A_x]B_x+A_x[J_z,B_x]+[J_z,A_y]B_y+A_y[J_z,B_y]\\&=A_yB_x+A_xB_y-A_xB_y-A_yB_x=0.\end{align} Por tanto, el producto escalar $\textbf{A}\cdot\textbf{B}$ conmuta con $J_z$, y análogamente también con $J_x$ y $J_y$.

Consideremos el producto vectorial $\textbf{A}\times \textbf{B}=\textbf{C}$ o en su forma tensorial \begin{align}C_k=\xi_{ijk}A_iB_j.\end{align} Ahora, haciendo uso de $(3)$ y siguiendo los pasos de $(1)$ se tiene \begin{align}[J_i,C_j]=i\hbar\xi_{ijk}C_k .\end{align} Este conmutador tiene la misma forma que $(3)$ con $\textbf{C}$ en lugar de $\textbf{A}$. De aquí resulta que el conmutador $(3)$ es valido para las componentes de cualquier vector que se pueda formar de las variables dinámicas, y que todo escalar conmuta con $\textbf{J}$. 

Operador de Rotación: df