Desigualdad de Cauchi-Schwarz

Demostración: Para cualquier par de estados $|\alpha\rangle$ y $|\beta\rangle$ del espacio de Hilbert, se cumple que\begin{align*}
|\gamma\rangle=|\alpha\rangle+\lambda|\beta\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\gamma|=\langle\alpha|+\lambda^*\langle\beta|\end{align*}Realizando el braket\begin{align*}
\langle\gamma|\gamma\rangle&=\big(\langle\alpha|+\lambda^*\langle\beta|\big)\big(|\alpha\rangle+\lambda|\beta\rangle\big)\\
&=\langle\alpha|\alpha\rangle+\lambda\langle\alpha|\beta\rangle+\lambda^*\langle\beta|\alpha\rangle+|\lambda|^2\langle\beta|\beta\rangle\geq0
\end{align*}Como la desigualdad se cumple para todo $\lambda$, especialmente para\begin{align*}
\lambda=-\frac{\langle\beta|\alpha\rangle}{\langle\beta|\beta\rangle}
\quad\longrightarrow\quad\lambda^*=-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\beta|\beta\rangle}\end{align*}por tanto
\begin{align*}
\langle\alpha|\alpha\rangle-\frac{\langle\beta|\alpha\rangle}{\langle\beta|\beta\rangle}\langle\alpha|\beta\rangle-\frac{\langle\alpha|\beta\rangle}{\langle\beta|\beta\rangle}\langle\beta|\alpha\rangle+\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\beta|\beta\rangle^2}\langle\beta|\beta\rangle&\geq0\\
\langle\alpha|\alpha\rangle-\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\beta|\beta\rangle}-\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\beta|\beta\rangle}+\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^2}{\langle\beta|\beta\rangle}&\geq0\\
\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle&\geq|\langle\alpha|\beta\rangle|^2\hspace{2cm}\checkmark
\end{align*}