Principio de incertidumbre

Demostración: Sean dos operadores Hermitianos $\hat{A}$ y $\hat{B}$ del espacio de Hilbert, $\langle\hat{A}\rangle$ y $\langle\hat{B}\rangle$ los valores esperados respecto al vector de estado normalizado $|\Psi\rangle$ y definamos los siguientes kets\begin{align*}|\alpha\rangle=\Delta\hat{A}|\Psi\rangle\hspace{2cm}|\beta\rangle=\Delta\hat{B}|\Psi\rangle
\end{align*} donde $\Delta\hat{A}=\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle$ y $\Delta\hat{B}=\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle$. Aplicando las reglas de transformación en el ket $|\alpha\rangle$
\begin{align*}
|\alpha\rangle=(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)|\Psi\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\alpha|&=\langle\Psi|(\hat{A}^\dagger-\langle\hat{A}\rangle^*)\\
&=\langle\Psi|(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)
\end{align*} se puede calcular el braket\begin{align*}
\langle\alpha|\alpha\rangle&=\langle\Psi|(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)|\Psi\rangle\\
&=\langle\Psi|(\hat{A}^2-\hat{A}\langle\hat{A}\rangle-\langle\hat{A}\rangle \hat{A}+\langle\hat{A}\rangle^2)|\Psi\rangle\\
&=\langle\hat{A}^2\rangle-\langle\hat{A}\rangle\langle\hat{A}\rangle-\langle\hat{A}\rangle\langle\hat{A}\rangle+\langle\hat{A}\rangle^2\\
&=\langle\hat{A}^2\rangle-\langle\hat{A}\rangle^2=(\sigma\hat{A})^2
\end{align*} análogamente, \begin{align*}
\langle\beta|\beta\rangle=(\sigma \hat{B})^2.
\end{align*} Ahora, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz $\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle\geq|\langle\alpha|\beta\rangle|^2$ se tiene que \begin{align*}
(\sigma \hat{A})^2(\sigma \hat{B})^2\geq|\langle\alpha|\beta\rangle|^2.
\end{align*} Por otro lado, es necesario calcular la norma al cuadrado del braket $\langle\alpha|\beta\rangle$ en terminos de los operadores $\hat{A}$ y $\hat{B}$, y para esto usamos el siguiente resultado:
\begin{align*}
\Delta \hat{A}\,\Delta\hat{B}&=\frac{1}{2}[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]+\frac{1}{2}\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}\\
&=\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2}\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}
\end{align*} teniendo  \begin{align*}
|\langle\alpha|\beta\rangle|^2&=|\langle\Psi|\Delta A\,\Delta B|\Psi\rangle|^2\\
&=\big|\big\langle\Psi\big|\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2}\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}\big|\Psi\big\rangle\big|^2
\end{align*} y de las propiedades en los conmutadores y anticonmutadores se sabe que $[\hat{A},\hat{B}]$ es anti-Hermitiano y $\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}$ es Hermitiano, por lo que la norma al cuadrado del braket se reduce a\begin{align*}
|\langle\alpha|\beta\rangle|^2=\frac{1}{4}|\langle\Psi|[\hat{A},\hat{B}]|\Psi\rangle|^2+\frac{1}{4}|\langle\Psi|\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}|\Psi\rangle|^2\\
\end{align*}eliminando la parte Hermitiana\begin{align*}
|\langle\alpha|\beta\rangle|^2\geq\frac{1}{4}|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle|^2
\end{align*} y por tanto\begin{align*}
\hspace{1.cm}\boxed{\sigma \hat{A}\,\sigma \hat{B}\geq\frac{1}{2}|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle|}\hspace{1cm}\checkmark
\end{align*}