Solución del problema 2 sección 1.7

Considere el operador\begin{align*}
\hat{A}=|1\rangle\!\langle1|+|2\rangle\!\langle2|+|3\rangle\!\langle3|-i|1\rangle\!\langle2|-|1\rangle\!\langle3|+i|2\rangle\!\langle1|-|3\rangle\!\langle1|
\end{align*} donde $\{|1\rangle,|2\rangle\,\text{y}\,|3\rangle\}$ forman una base ortogonal y completa

• ¿Es $A$ Hermitiano?, Calcule $A^2$ ¿Es un proyector?
• Encuentre la matriz de representación de $A$ en la base ket.
• Encuentre los valores propios y vertores propios de $A$

 Solución:

• Formando la matriz de representación de $A$, usando el resultado (##) se tiene: \begin{align*}A=\left(\begin{matrix}\langle1|A|1\rangle & \langle1|A|2\rangle & \langle1|A|3\rangle\\\langle2|A|1\rangle & \langle2|A|2\rangle & \langle2|A|3\rangle\\\langle3|A|1\rangle & \langle3|A|2\rangle & \langle3|A|3\rangle\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1  & -i &-1\\i  &  1 & 0\\-1 &  0 & 1\end{matrix}\right)\end{align*}

• Del polinomio caracteristico de la matriz anterior \begin{align*}|A-\lambda 1|=0\quad\longrightarrow\quad P_3(\lambda)=(1-\lambda)((1-\lambda)^2-2)\end{align*}se calculan sus autovalores\begin{align*}\lambda_1=1+\sqrt{2} ,\quad \lambda_2=1 ,\quad \lambda_3=1-\sqrt{2}.\end{align*}Ahora, para cada $\lambda_i$ se resuelve el sistema lineal\begin{align*}(A-\lambda_i1)|\lambda_i\rangle=|0\rangle\end{align*}y de esta manera formar las ecuaciones de autovalores\begin{align*}A|\lambda_1\rangle=(1+\sqrt{2})|\lambda_1\rangle,\quad A|\lambda_2\rangle=|\lambda_2\rangle,\quad A|\lambda_3\rangle=(1-\sqrt{2})|\lambda_3\rangle\end{align*}donde los autokets son: \begin{align*}|\lambda_1\rangle=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}\sqrt{2}\\i\\-1\end{matrix}\right),\quad|\lambda_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}0\\i\\1\end{matrix}\right),\quad|\lambda_3\rangle=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}\sqrt{2}\\-i\\1\end{matrix}\right)\end{align*}