Solución del problema 3 sección 1.7

Considere el Hamiltoniano $\hat{H}$ de una partícula en un problema unidimensional definido por \begin{align*}\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\hat{V}(x),\end{align*} donde los operadores posición y momento satisfacen la relación de conmutación $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$ y los autoestados discretos $|n\rangle$ de $\hat{H}$ forman la ecuación de autoestados $\hat{H}|n\rangle=E_n|n\rangle$.

• Para un operador arbitrario $\hat{A}$ pruebe la relación $\langle n|[\hat{A},\hat{H}]|n\rangle=0$.
• Calcule los conmutadores $[\hat{x},\hat{H}]$, $[\hat{p},\hat{H}]$ y $[\hat{x}\hat{p},\hat{H}]$.
• Muestre que \begin{align*}\langle n|\hat{p}|n'\rangle=\frac{im}{\hbar}(E_n-E_{n'})\langle n|\hat{x}|n'\rangle.\end{align*}
• Del resultado anterior, demuestre que \begin{align*}\frac{\hbar^2}{m^2}\langle n|\hat{p}^2|n\rangle=\sum_{n'}(E_n-E_{n'})|\langle n|\hat{x}|n'\rangle|^2.\end{align*}

Solución:

• Teniendo en cuenta que $\hat{H}$ es un operador Hermitiano \begin{align*}\hat{H}|n\rangle=E_n|n\rangle\quad\longleftrightarrow\quad \langle n|\hat{H}^\dagger=\langle n|\hat{H}=\langle n|E_n\end{align*} \begin{align*}\langle n|[\hat{A},\hat{H}]|n\rangle&=\langle n|\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}|n\rangle\\&=\langle n|\hat{A}\hat{H}|n\rangle-\langle n|\hat{H}\hat{A}|n\rangle\\&=E_n\langle n|\hat{A}|n\rangle-E_n\langle n|\hat{A}|n\rangle\\&=0 \end{align*}
• Cálculo de $[\hat{x},\hat{H}]=\frac{i\hbar}{m}\hat{p}$ teniendo en cuenta que $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$; \begin{align*}[\hat{x},\hat{H}]&=\big[\hat{x},\frac{\hat{p}^2}{2m}+\hat{V}(x)\big] \\ &=\big[\hat{x},\frac{\hat{p}^2}{2m}\big]+\big[\hat{x},\hat{V}(x)\big] \\ &=\frac{1}{2m}\big[\hat{x},\hat{p}^2\big]\\ &=\frac{1}{2m}([\hat{x},\hat{p}]\hat{p}+\hat{p}[\hat{x},\hat{p}])\\&=\frac{1}{2m}(2i\hbar \hat{p})=\frac{i\hbar}{m}\hat{p} \end{align*} Cálculo de $[\hat{p},\hat{H}]=-i\hbar\frac{\partial V}{\partial x}$ teniendo en cuenta que $[\hat{V}(x),\hat{p}]=i\hbar\frac{\partial V}{\partial x}$;\begin{alignat*}{2} [\hat{V}(x),\hat{p}]\Psi&=\big[V(x),-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\big]\Psi  &\hspace{2.5cm} [\hat{p},\hat{H}]&=\big[\hat{p},\frac{\hat{p}^2}{2m}+\hat{V}(x)\big] \\ &=-i\hbar V\frac{\partial\Psi}{\partial x}+i\hbar\frac{\partial}{\partial x}(V\Psi) &  &=\big[\hat{p},\frac{\hat{p}^2}{2m}\big]+\big[\hat{p},\hat{V}(x)\big] \\ &=i\hbar \frac{\partial V}{\partial x}\Psi  & &=-\big[\hat{V}(x),\hat{p}\big] \\&\longrightarrow\quad  [\hat{V}(x),\hat{p}]=i\hbar\frac{\partial V}{\partial x} & &=-i\hbar\frac{\partial V}{\partial x} \end{alignat*} Cálculo de $[\hat{x}\hat{p},\hat{H}]=i\hbar\big(2T-x\frac{\partial V}{\partial x}\big)$ teniendo en cuenta los dos resultados anteriores; \begin{align*}[\hat{x}\hat{p},\hat{H}]&=[\hat{x},\hat{H}]\hat{p}+\hat{x}[\hat{p},\hat{H}]\\&=\big(\frac{i\hbar\hat{p}}{m}\big)\hat{p}+\hat{x}\big(-i\hbar\frac{\partial V}{\partial x}\big)\\&=i\hbar\big(2\frac{\hat{p}^2}{2m}-\hat{x}\frac{\partial V}{\partial x}\big)\\&=i\hbar\big(2\hat{T}-\hat{x}\frac{\partial V}{\partial x}\big) \end{align*} 
• Cálculo de $\langle n|\hat{p}|n'\rangle$ teniendo en cuenta que $[\hat{x},\hat{H}]=\frac{i\hbar}{m}\hat{p}$ \begin{align*}\langle n|\hat{p}|n'\rangle&=\frac{m}{i\hbar}\langle n|[\hat{x},\hat{H}]|n'\rangle\\&=-\frac{im}{\hbar}\big(\langle n|\hat{x}\hat{H}|n'\rangle-\langle n|\hat{H}\hat{x}|n'\rangle\big)\\&=-\frac{im}{\hbar}\big(E_{n'}\langle n|\hat{x}|n'\rangle-E_n\langle n|\hat{x}|n'\rangle\big)\\&=\frac{im}{\hbar}\big(E_{n}-E_{n'}\big)\langle n|\hat{x}|n'\rangle\end{align*} 
• Cálculo de $\frac{\hbar^2}{m^2}\langle n|\hat{p}^2|n\rangle$ teniendo en cuenta el anterior resultado \begin{align*}\frac{\hbar^2}{m^2}\langle n|\hat{p}^2|n'\rangle&=\frac{\hbar^2}{m^2}\sum_{n'}\langle n|\hat{p}|n'\rangle \langle n'|\hat{p}|n\rangle\\&=\frac{\hbar^2}{m^2}\sum_{n'}\langle n|\hat{p}|n'\rangle \langle n|\hat{p}|n'\rangle^*\\&=\frac{\hbar^2}{m^2}\sum_{n'}\bigg(\frac{im}{\hbar}\big(E_{n}-E_{n'}\big)\langle n|\hat{x}|n'\rangle\bigg)\bigg(\frac{-im}{\hbar}\big(E_{n}-E_{n'}\big)\langle n|\hat{x}|n'\rangle^*\bigg)\\&=\sum_{n'}\big(E_{n}-E_{n'}\big)^2\langle n|\hat{x}|n'\rangle\langle n|\hat{x}|n'\rangle^*\\&=\sum_{n'}\big(E_{n}-E_{n'}\big)^2|\langle n|\hat{x}|n'\rangle|^2\end{align*}