Propiedades básicas de los operadores

Cabe aclarar que las primeras tres propiedades se demuestran de manera similar a las propiedades 4-6, razón por la cual se dejan como ejercicio para el lector.

Propiedad 4. Accionando $\hat{A}+\hat{B}$ a cualquier ket $|\alpha\rangle$ y aplicando las reglas de transformación se tiene\begin{align*}
\big(\hat{A}+\hat{B}\big)|\alpha\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\alpha|\big(\hat{A}+\hat{B}\big)^\dagger
\end{align*}por otro lado, distribuyendo el $|\alpha\rangle$ y aplicando nuevamente las reglas de transformación \begin{align*}
\big(\hat{A}+\hat{B}\big)|\alpha\rangle
=\hat{A}|\alpha\rangle+\hat{B}|\alpha\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\alpha|\hat{A}^\dagger +\langle\alpha|\hat{B}^\dagger=\langle\alpha|\big(\hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger\big)
\end{align*} Finalmente, comparando los bras se llega al resultado\begin{align*}
\boxed{\big(\hat{A}+\hat{B}\big)^\dagger=\big(\hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger\big)}
\end{align*}
Propiedad 5. Accionando $\hat{A}\hat{B}$ a cualquier ket $|\alpha\rangle$ y aplicando las reglas de transformación se tiene\begin{align*}
\big(\hat{A}\hat{B}\big)|\alpha\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\alpha|\big(\hat{A}\hat{B}\big)^\dagger
\end{align*}por otro lado, haciendo $B|\alpha\rangle=|\gamma\rangle$ y aplicando nuevamente las reglas de transformación \begin{align*}
\hat{A}\big(\hat{B}|\alpha\rangle\big)=\hat{A}|\gamma\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\gamma|\hat{A}^\dagger=\langle\alpha|\big(\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger\big)
\end{align*} Finalmente, comparando los bras se llega al resultado\begin{align*}
\boxed{\big(\hat{A}\hat{B}\big)^\dagger=\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger}
\end{align*}
Propiedad 6. Accionando $|\Phi\rangle\!\langle\Psi|$ a cualquier ket $|\alpha\rangle$ y aplicando las reglas de transformación se tiene \begin{align*}
\big(|\Phi\rangle\!\langle\Psi|\big)|\alpha\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\alpha|\big(|\Phi\rangle\!\langle\Psi|\big)^\dagger
\end{align*}por otro lado, haciendo\begin{align*}
\big(|\Phi\rangle\!\langle\Psi|\big)|\alpha\rangle=|\Phi\rangle\langle\Psi|\alpha\rangle=\langle\Psi|\alpha\rangle|\Phi\rangle
\end{align*}y aplicando nuevamente las reglas de transformación\begin{align*}
\langle\Psi|\alpha\rangle|\Phi\rangle\quad\longleftrightarrow\quad\langle\Psi|\alpha\rangle^*\langle\Phi|&=\langle\alpha|\Psi\rangle\langle\Phi|\\
&=\langle\alpha|\big(|\Psi\rangle\!\langle\Phi|\big)
\end{align*}Finalmente, comparando los bras se llega al resultado\begin{align*}
\boxed{\big(|\Phi\rangle\!\langle\Psi|\big)^\dagger=|\Psi\rangle\!\langle\Phi|}
\end{align*}