Operador Posición

Valor esperado del operador posición en el espacio de momentos

\begin{align*}
\boxed{\langle\hat{x}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi^*(p,t)\!\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\right)\!\Phi(p,t)\, dp}
\end{align*}
Aplicando la definición de valor esperado, las transformadas de Fourier para $\Psi^*$ y $\Psi$, multiplicando los exponenciales y ordenando los diferenciales, se tiene;
\begin{align*}
\langle \hat{x}\rangle&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(x,t)x\,\Psi(x,t)\,dx\\
&=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-\frac{ipx}{\hbar}}\Phi^*(p,t) \,dp\right)x\left(\int_{-\infty }^{+\infty }e^{\frac{ip'x}{\hbar}}\Phi(p',t) \,dp'\right)dx\\
&=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\Phi^*(p,t)\left(xe^{\frac{ix}{\hbar}(p'-p)}\right)\Phi(p',t)\,dx\,dp'dp.
\end{align*}Ahora, teniendo en cuenta que
\begin{align*}xe^{\frac{ix}{\hbar}(p'-p)}=i\hbar\frac{\partial}{\partial p}e^{\frac{ix}{\hbar}(p'-p)}\hspace{2cm} \int_{-\infty }^{+\infty }e^{\frac{ix}{\hbar}(p'-p)}\,dx=2\pi\hbar\delta(p'-p)
\end{align*}El valor esperado se reduce a lo siguiente:
\begin{align*}
\langle\hat{x}\rangle&=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty }\Phi^*(p,t)\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial p}2\pi\hbar\,\delta(p'-p)\right)\Phi(p',t)\,dp'dp\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty }\Phi^*(p,t)\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\,\delta(p'-p)\right)\Phi(p',t)\,dp'dp\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi^*(p,t)\!\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\right)\!\Phi(p,t)\, dp\hspace{2cm}\checkmark
\end{align*}