Operador Momento

Valor esperado del operador momento en el espacio de posición

\begin{align*}
\boxed{\langle\hat{p}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(x,t)\!\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\!\Psi(x,t)\, dx}
\end{align*}
Aplicando la definición de valor esperado, las transformadas inversas de Fourier para $\Phi^*$ y $\Phi$, multiplicando los exponenciales y ordenando los diferenciales, se tiene;
\begin{align*}
\langle \hat{p}\rangle&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi^*(p,t)p\,\Phi(p,t)\,dp\\
&=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty }^{+\infty }e^{\frac{ipx}{\hbar}}\Psi^*(x,t) \,dx\right)p\left(\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-\frac{ipx'}{\hbar}}\Psi(x',t) \,dx'\right)dp\\
&=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\Psi^*(x,t)\left(pe^{\frac{ip}{\hbar}(x-x')}\right)\Psi(x',t)\,dp\,dx'dx.
\end{align*}Ahora, teniendo en cuenta que
\begin{align*}pe^{\frac{ip}{\hbar}(x-x')}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}e^{\frac{ip}{\hbar}(x-x')}\hspace{2cm} \int_{-\infty }^{+\infty }e^{\frac{ip}{\hbar}(x-x')}\,dp=2\pi\hbar\delta(x-x'),
\end{align*} y usando la propiedad del delta Dirac $\delta(x-x')=\delta(x'-x)$, el valor esperado se reduce a lo siguiente:
\begin{align*}
\langle\hat{p}\rangle&=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty }\Psi^*(x,t)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}2\pi\hbar\,\delta(x'-x)\right)\Psi(x',t)\,dx'dx\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty }\Psi^*(x,t)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\,\delta(x'-x)\right)\Psi(x',t)\,dx'dx\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(x,t)\!\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\!\Psi(x,t)\, dx\hspace{2cm}\checkmark
\end{align*}