donde m es la masa de la partícula que oscila, y ω=2πf (siendo f la frecuencia). Supondremos que en mecánica cuántica es válido el mismo Hamiltoniano.
Es conveniente introducir la variable dinámica compleja sin dimensiones y su conjugada a=1√2ℏmω(−ip+mωx)→a†=1√2ℏmω(ip+mωx)(2)
Del producto aa† se puede escribir el Hamiltoniano en función exsclusivamente de estas variables.aa†=12ℏmω(−ip+mωx)(ip+mωx)=12ℏmω(p2+m2ω2x2+imω[x,p])=1ℏωH−12(3)
de manera análoga a†a=1ℏωH+12.(4)
Luego [a†,a]=1.(5)
Asimismo, del anterior conmutador (5) por inducción se llega a [a†,an]=nan−1.(6)
Finalmente de los resultados (3) y (4) resulta a†aa†=1ℏωa†H−12a†ya†aa†=1ℏωHa†+12a†.
Luego [a†,H]=ℏωa†.(7)
Por otra parte, sea E un autovalor (valor de energía) de H y sea |ψ⟩ su autoket, entonces de (3) se tiene⟨ψ|aa†|ψ⟩=⟨ψ|1ℏωH−12|ψ⟩=(Eℏω−12)⟨ψ|ψ⟩,(8)
pero ⟨ψ|aa†|ψ⟩ es el cuadrado de la magnitud del ket a†|ψ⟩, y por tanto, ⟨ψ|aa†|ψ⟩≥0, siendo válido el signo igual sólo cuando a†|ψ⟩=0. Asimismo, ⟨ψ|ψ⟩>0. Luego existe un valor mínimo para la energía E≥12ℏω.
Ademas, a†|ψ⟩ es un nuevo autoket de H cuyo autovalor es E−ℏω, en efecto, aplicando (7) resulta H|a†ψ⟩=(a†H−ℏωa†)|ψ⟩=(E−ℏω)|a†ψ⟩.
Podemos repetir el razonamiento con |(a†)2ψ⟩ y deducir que si E−ℏω≠12ℏω, entonces también E−2ℏω es un autovalor de H. Reiterando el procedimiento obtenemos la serie de autovalores {E,E−ℏω,E−2ℏω,E−3ℏω,…,}
y que en virtud de la existencia del mínimo para la energía no puede extenderse indefinidamente, ha de terminar forzosamente con el valor 12ℏω. Demanera similar E+ℏω es otro autovalor de H y cuyo autoket es |aψ⟩, pues aplicando la ecuación conjugada de (7) se tieneH|aψ⟩=(aH+ℏωa)|ψ⟩=(E+ℏω)|aψ⟩,
lo que muestra que salvo en el caso de |aψ⟩=0, E+ℏω es otro autovalor de H uno de cuyo autoket es |aψ⟩. La posibilidad de ser |aψ⟩=0 es descartada, pues aplicando el ket |ψ⟩ en (4) se contradice con el valor mínimo para la energía. Luego, E+ℏω siempre es otro autovalor de H y por tanto también lo son E+2ℏω,E+3ℏω,… Por consiguiente, los autovalores de H o valores posibles de la energía para el oscilador armónico son la sucesión de números En=(n+12)ℏω
que se extienden hasta infinito.
Estado cuántico de orden n. Sea |0⟩ un autoket de H perteneciente al mínimo autovalor 12ℏω, por tanto a†|0⟩=0,(9)
El cuadrado de la longitud del ket an|0⟩ según (10) es ⟨0|(a†)nan|0⟩=⟨0|(a†)n−1a†an|0⟩=n⟨0|(a†)n−1an−1|0⟩
Representación de Schrödinger. Como se puede ver el ket |0⟩ verifica la condición (9) que sustituye a las condiciones del ket standard de la representación de Schrödinger con x diagonal para obtener los representantes de los estados estacionarios. De (9) y (2) resulta(ip+mωx)|0⟩=0,
⟨x|0⟩=4√mωπℏe−mωx2/2ℏ,
y formemos la sucesión de kets an|0⟩.
Entonces, el estado estacionario con energía En=(n+12)ℏω, le corresponde el autoket an|0⟩. En efecto, aplicando el ket |0⟩ a la igualdad (6) se llega a a†an|0⟩=nan−1|0⟩(10)
ahora usando este resultado podemos formar la siguiente ecuación de autovalores Han|0⟩=ℏω(aa†+12)an|0⟩=ℏω(aa†an|0⟩+12an|0⟩)=ℏω(nan|0⟩+12an|0⟩)=ℏω(n+12)an|0⟩,
es decir, que an|0⟩ es un autoket de H y corresponde con la energía En=(n+12)ℏω. Por ende se denomina estado cuántico de orden n.
El cuadrado de la longitud del ket an|0⟩ según (10) es ⟨0|(a†)nan|0⟩=⟨0|(a†)n−1a†an|0⟩=n⟨0|(a†)n−1an−1|0⟩
por inducción se obtiene ⟨0|(a†)nan|0⟩=n!⟨0|0⟩
luego, si |0⟩ esta normalizado la sucesión definida por |n⟩=1√n!an|0⟩,
conforma un conjunto de kets completo ortonormal, básicos de una representación, que diagonalizan a H, pues para cada ket de la sucesión le corresponde un único valor de energía, ademas si se aplica a 0 a† a cualquier ket del conjunto da un ket dependiente del conjunto. Ahora bien, todas las variables dinámicas del problema se puede expresar en función de a y a†.
Representación de Schrödinger. Como se puede ver el ket |0⟩ verifica la condición (9) que sustituye a las condiciones del ket standard de la representación de Schrödinger con x diagonal para obtener los representantes de los estados estacionarios. De (9) y (2) resulta(ip+mωx)|0⟩=0,
de modo que ⟨x|(ip+mωx)|0⟩=0.
con ayuda de p=−iℏ∂∂x, ésta equivale a ℏ∂∂x⟨x|0⟩+mωx⟨x|0⟩=0.
La solución de esta ecuación diferencial es
⟨x|0⟩=4√mωπℏe−mωx2/2ℏ,
donde hemos tomado el coefeciente numérico de modo que |0⟩ esté normalizado. Este es el representante del estado fundamental, nombre que se da al estado de menor energía. Los representantes de los demás estados estacionarios se pueden deducir a partir de éste. Según (2) tenemosan|0⟩=(2ℏmω)−n/2(ℏ∂∂x+mωx)n|0⟩,
por lo que ⟨x|an|0⟩=(2ℏmω)−n/2(ℏ∂∂x+mωx)n⟨x|0⟩=(2ℏmω)−n/24√mωπℏ(ℏ∂∂x+mωx)ne−mωx2/2ℏ.
Esta expresión da como resultado un polinomio de grado n en x multiplicado por e−mωx2/2ℏ. Por lo que el representante del estado cuántico de orden n normalizado es ⟨x|n⟩=1√n!⟨x|an|0⟩.
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