A.1 El Oscilador Armonico

Un ejemplo sencillo e interesante de un sistema dinámico en mecánica cuántica lo constituye el oscilador armónico. Tiene importancia en la teoría general pues es un elemento básico en la teoría de la radiación. Las únicas variables dinámicas que se necesitan para describir dicho sistema son una coordenada $x$ y su momento canónico conjugado $p$. En mecánica clásica su Hamiltoniano es:\begin{align*}\hspace{8.85cm}H=\frac{1}{2m}\left(p^2+m^2\omega^2x^2\right),\hspace{8.85cm}(1)\end{align*}donde $m$ es la masa de la partícula que oscila, y $\omega=2\pi f$ (siendo $f$ la frecuencia). Supondremos que en mecánica cuántica es válido el mismo Hamiltoniano.

Es conveniente introducir la variable dinámica compleja sin dimensiones y su conjugada \begin{align*}\hspace{3.7cm}a=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\big(-ip+m\omega x\big)\quad\to\quad a^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\big(ip+m\omega x\big)\hspace{3.7cm}(2)\end{align*}Del producto $aa^\dagger$ se puede escribir el Hamiltoniano en función exsclusivamente de estas variables.\begin{align*}aa^\dagger&=\frac{1}{2\hbar m\omega}\big(-ip+m\omega x\big)\big(ip+m\omega x\big)\\&=\frac{1}{2\hbar m\omega}\big(p^2+m^2\omega^2x^2+im\omega[x,p]\big)\\\hspace{9cm}&=\frac{1}{\hbar\omega}H-\frac{1}{2}\hspace{12cm}(3)\end{align*}de manera análoga \begin{align*}\hspace{9.9cm}a^\dagger a=\frac{1}{\hbar\omega}H+\frac{1}{2}.\hspace{9.9cm}(4)\end{align*} Luego \begin{align*}\hspace{10.9cm}\big[a^\dagger,a\big]=1.\hspace{10.9cm}(5)\end{align*}Asimismo, del anterior conmutador (5) por inducción se llega a \begin{align*}\hspace{10.02cm}\big[a^\dagger,a^n\big]=na^{n-1}.\hspace{10.02cm}(6)\end{align*} Finalmente de los resultados (3) y (4) resulta \begin{align}a^\dagger aa^\dagger=\frac{1}{\hbar\omega}a^\dagger H-\frac{1}{2}a^\dagger\quad\quad\text{y}\quad\quad a^\dagger aa^\dagger=\frac{1}{\hbar\omega}Ha^\dagger+\frac{1}{2}a^\dagger.\end{align}Luego \begin{align}\hspace{10.2cm}\big[a^\dagger,H\big]=\hbar\omega a^\dagger. \hspace{10.2cm}(7)\end{align}
Por otra parte, sea $E$ un autovalor (valor de energía) de $H$ y sea $|\psi\rangle$ su autoket, entonces de $(3)$ se tiene\begin{align}\hspace{5.1cm}\langle\psi|a a^\dagger|\psi\rangle=\big\langle\psi\big|\frac{1}{\hbar\omega}H-\frac{1}{2}\big|\psi\big\rangle=\left(\frac{E}{\hbar\omega}-\frac{1}{2}\right)\langle\psi|\psi\rangle,\hspace{5.1cm}(8)\end{align} pero $\langle\psi|a a^\dagger|\psi\rangle$ es el cuadrado de la magnitud del ket $a^\dagger|\psi\rangle$, y por tanto, $\langle\psi|a a^\dagger|\psi\rangle\geq 0$, siendo válido el signo igual sólo cuando $a^\dagger|\psi\rangle=0$. Asimismo, $\langle\psi|\psi\rangle>0$. Luego existe un valor mínimo para la energía \begin{align}E\geq \frac{1}{2}\hbar\omega.\end{align} Ademas, $a^\dagger|\psi\rangle$ es un nuevo autoket de $H$ cuyo autovalor es $E-\hbar\omega$, en efecto, aplicando (7) resulta \begin{align}H|a^\dagger\psi\rangle=(a^\dagger H-\hbar\omega a^\dagger)|\psi\rangle=(E-\hbar\omega)|a^\dagger\psi\rangle.\end{align} Podemos repetir el razonamiento con $\big|\big(a^\dagger\big)^2\psi\rangle$ y deducir que si $E-\hbar\omega\neq\frac{1}{2}\hbar\omega$, entonces también $E-2\hbar\omega$ es un autovalor de $H$. Reiterando el procedimiento obtenemos la serie de autovalores $$\{E,E-\hbar\omega,E-2\hbar\omega,E-3\hbar\omega,\dots, \}$$ y que en virtud de la existencia del mínimo para la energía no puede extenderse indefinidamente, ha de terminar forzosamente con el valor $\frac{1}{2}\hbar\omega$. Demanera similar $E+\hbar\omega$ es otro autovalor de $H$ y cuyo autoket es $|a\psi\rangle$, pues aplicando la ecuación conjugada de (7) se tiene\begin{align}H|a\psi\rangle=(a H+\hbar\omega a)|\psi\rangle=(E+\hbar\omega)|a\psi\rangle, \end{align} lo que muestra que salvo en el caso de $|a\psi\rangle=0$, $E+\hbar\omega$ es otro autovalor de $H$ uno de cuyo autoket es $|a\psi\rangle$. La posibilidad de ser $|a\psi\rangle=0$ es descartada, pues aplicando el ket $|\psi\rangle$ en (4) se contradice con el valor mínimo para la energía. Luego, $E+\hbar\omega$ siempre es otro autovalor de $H$ y por tanto también lo son $E+2\hbar\omega,E+3\hbar\omega,\dots$ Por consiguiente, los autovalores de $H$ o valores posibles de la energía para el oscilador armónico son la sucesión de números $$E_n=\big(n+\frac{1}{2}\big)\hbar\omega$$ que se extienden hasta infinito.

Estado cuántico de orden $n$. Sea $|0\rangle$ un autoket de $H$ perteneciente al mínimo autovalor $\frac{1}{2}\hbar\omega$, por tanto \begin{align}\hspace{11cm}a^\dagger|0\rangle=0, \hspace{11cm}(9)\end{align} y formemos la sucesión de kets \begin{align}a^n|0\rangle.\end{align} Entonces, el estado estacionario con energía $E_n=\big(n+\frac{1}{2}\big)\hbar\omega$, le corresponde el autoket $a^n|0\rangle$. En efecto, aplicando el ket $|0\rangle$ a la igualdad $(6)$ se llega a \begin{align}\hspace{9.6cm}a^\dagger a^n|0\rangle=na^{n-1}|0\rangle\hspace{9.6cm}(10) \end{align} ahora usando este resultado podemos formar la siguiente ecuación de autovalores \begin{align}Ha^n|0\rangle&=\hbar\omega\big(aa^\dagger+\frac{1}{2}\big)a^n|0\rangle\\&=\hbar\omega\big(aa^\dagger a^n|0\rangle+\frac{1}{2}a^n|0\rangle\big)\\&=\hbar\omega\big(na^n|0\rangle+\frac{1}{2}a^n|0\rangle\big)\\&=\hbar\omega\big(n+\frac{1}{2}\big)a^n|0\rangle,\end{align} es decir, que $a^n|0\rangle$ es un autoket de $H$ y corresponde con la energía $E_n=\big(n+\frac{1}{2}\big)\hbar\omega$. Por ende se denomina estado cuántico de orden $n$.

El cuadrado de la longitud del ket $a^n|0\rangle$ según (10) es \begin{align}\langle 0|(a^\dagger)^n a^n|0\rangle=\langle 0|(a^\dagger)^{n-1} a^\dagger a^n|0\rangle=n\langle 0|(a^\dagger)^{n-1} a^{n-1}|0\rangle\end{align} por inducción se obtiene \begin{align}\langle 0|(a^\dagger)^n a^n|0\rangle=n!\langle 0|0\rangle \end{align} luego, si $|0\rangle$ esta normalizado la sucesión definida por \begin{align}|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}a^n|0\rangle,\end{align} conforma un conjunto de kets completo ortonormal, básicos de una representación, que diagonalizan a $H$, pues para cada ket de la sucesión le corresponde un único valor de energía, ademas si se aplica $a$ 0 $a^\dagger$ a cualquier ket del conjunto da un ket dependiente del conjunto. Ahora bien, todas las variables dinámicas del problema se puede expresar en función de $a$ y $a^\dagger$.


Representación de Schrödinger. Como se puede ver el ket $|0\rangle$ verifica la condición (9) que sustituye a las condiciones del ket standard de la representación de Schrödinger con $x$ diagonal para obtener los representantes de los estados estacionarios. De (9) y (2) resulta\begin{align}(ip+m\omega x)|0\rangle=0, \end{align} de modo que \begin{align}\langle x|(ip+m\omega x)|0\rangle=0. \end{align} con ayuda de $p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$, ésta equivale a \begin{align}\hbar\frac{\partial}{\partial x}\langle x|0\rangle+m\omega x\langle x|0\rangle=0.\end{align} La solución de esta ecuación diferencial es
\begin{align}\langle x|0\rangle=\sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}e^{-m\omega x^2/2\hbar},\end{align} donde hemos tomado el coefeciente numérico de modo que $|0\rangle$ esté normalizado. Este es el representante del estado fundamental, nombre que se da al estado de menor energía. Los representantes de los demás estados estacionarios se pueden deducir a partir de éste. Según $(2)$ tenemos\begin{align}a^n|0\rangle=(2\hbar m\omega)^{-n/2}\left(\hbar\frac{\partial}{\partial x}+m\omega x\right)^n|0\rangle, \end{align} por lo que \begin{align}\langle x| a^n|0\rangle&=(2\hbar m\omega)^{-n/2}\left(\hbar\frac{\partial}{\partial x}+m\omega x\right)^n\langle x|0\rangle\\&=(2\hbar m\omega)^{-n/2} \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\left(\hbar\frac{\partial}{\partial x}+m\omega x\right)^n e^{-m\omega x^2/2\hbar}. \end{align}Esta expresión da como resultado un polinomio de grado $n$ en $x$ multiplicado por $e^{-m\omega x^2/2\hbar}$. Por lo que el representante del estado cuántico de orden $n$ normalizado es \begin{align}\langle x|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\langle x|a^n|0\rangle. \end{align}