1.7 Problemas

1. Cosidere un sistema físico donde los operadores $\hat{H}$ y $\hat{A}$ en un espacio 3D estan dados por: \begin{align*}\hat{H}=\hbar\omega\left(
\begin{matrix}
1 & 0  & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 &  0 & -1
\end{matrix}
\right)\quad\text{y}\quad
\hat{A}=\alpha\left(
\begin{matrix}
1 & 0  & 0\\
0 & 0  & 1\\
0 & 1 & 0
\end{matrix}
\right)
\end{align*} Muestre que $\hat{H}$ y $\hat{A}$ conmutan. Encuentre una base común para las matrices. (👉 click aqui 👈)

2. Considere el operador
\begin{align*}
\hat{A}=|1\rangle\!\langle1|+|2\rangle\!\langle2|+|3\rangle\!\langle3|-i|1\rangle\!\langle2|-|1\rangle\!\langle3|+i|2\rangle\!\langle1|-|3\rangle\!\langle1|
\end{align*} donde $\{|1\rangle,|2\rangle\,\text{y}\,|3\rangle\}$ forman una base ortogonal y completa (👉 click aqui 👈)

• ¿Es $A$ Hermitiano?, Calcule $A^2$ ¿Es un proyector?
• Encuentre la matriz de representación de $A$ en la base ket.
• Encuentre los valores propios y vertores propios de $A$.

3. Considere el Hamiltoniano $\hat{H}$ de una partícula en un problema unidimensional definido por \begin{align*}\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\hat{V}(x),\end{align*} donde los operadores posición y momento satisfacen la relación de conmutación $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$ y los autoestados discretos $|n\rangle$ de $\hat{H}$ forman la ecuación de autoestados $\hat{H}|n\rangle=E_n|n\rangle$. (👉 click aqui 👈)

• Para un operador arbitrario pruebe la relación $\langle n|[\hat{A},\hat{H}]|n\rangle=0$.
• Calcule los conmutadores $[\hat{x},\hat{H}]$, $[\hat{p},\hat{H}]$ y $[\hat{x}\hat{p},\hat{H}]$.
• Muestre que \begin{align*}\langle n|\hat{p}|n'\rangle=\frac{im}{\hbar}(E_n-E_{n'})\langle n|\hat{x}|n'\rangle.\end{align*}
• Del resultado anterior, demuestre que \begin{align*}\frac{\hbar^2}{m^2}\langle n|\hat{p}^2|n\rangle=\sum_{n'}(E_n-E_{n'})|\langle n|\hat{x}|n'\rangle|^2.\end{align*}