1.3 Mediciones, Observables y Principio de Incertidumbre

Valor esperado: De un operador $\hat{A}$ con respecto a un estado $\left|\Psi\right\rangle$ se define como el producto 

\begin{align*}
\langle\hat{A}\rangle=\frac{\left\langle\Psi\right|\hat{A}\left|\Psi\right\rangle}{\left\langle\Psi|\Psi\right\rangle}.
\end{align*}En mecánica cuántica es conveniente utilizar estados normalizados, es decir,  $\left\langle\Psi|\Psi\right\rangle=1.$

Propiedades básicas de los conmutadores y anticonmutadores: (👈 de click )

• $[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]$
• $\{\hat{A},\hat{B}\}=\{\hat{B},\hat{A}\}$
• $[\hat{A},\hat{B}]^{\dagger}=\big[\hat{B}^{\dagger},\hat{A}^{\dagger}\big]$ 
• $\{\hat{A},\hat{B}\}^{\dagger}=\big\{\hat{A}^{\dagger},\hat{B}^{\dagger}\big\}$ 
• $[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}]$
• $[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$
• $[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]]+[\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]]+[\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]]=0$
• $\hat{A}\hat{B}=\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2}\{\hat{A},\hat{B}\}$
• Si $\hat{A}$ y $\hat{B}$ son dos operadores Hermitianos, entonces $[\hat{A},\hat{B}]$ es anti-Hermitiano y $\{\hat{A},\hat{B}\}$ es Hermitiano.

Desiguadad de Cauchi-Schwarz (👈 de click)
\begin{align*}
|\langle\Psi|\Phi\rangle|^2\leq\langle\Psi|\Psi\rangle\langle\Phi|\Phi\rangle
\end{align*}Principio de incertidumbre (👈 de click) Si $\langle\hat{A}\rangle$ y $\langle\hat{B}\rangle$ son los valores esperados de dos operadores hermitianos $\hat{A}$ y $\hat{B}$ con respecto a un vector de estado normalizado $|\Psi\rangle$, entonces
\begin{align*}
\boxed{\sigma\hat{A}\,\sigma\hat{B}\geq\frac{1}{2}|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle|}
\end{align*}donde $\delta\hat{A}$ y $\delta\hat{B}$ son las dispersiones de los operadores.