1.1 Espacios de Hilbert: Kets, Bras, y Operadores

Los espacios de Hilbert son un fundamento matemático usado por la mecánica cuántica. Este formalismo es basado en las ideas basícas del analisis vectorial, donde las funciones toman el papel de vectores. Un espacio de Hilbert ${\cal H}$ consiste en un conjunto de vectores $\Psi,\Phi,\xi,\dots$ y un conjunto de escalares $a,b,c,\dots$ con las siguientes propiedades:

• ${\cal H}$ es un espacio lineal.
• En ${\cal H}$ se define un producto escalar.

Notación de Dirac: El estado físico de un sistema es representado en mecánica cuántica por un elemento de un espacio de Hilbert; este elemento es llamado vector estado. Podemos representar a los vectores de estado en diferentes bases mediante una expansión de funciones. El estado de un sistema microscopico tiene un significado independiente de la base en que se expande. Para liberar a los vectores de estado del sentido de las coordenadas, Dirac introdujo una notación que permite manipular el formalismo de la mecánica cuántica con facilidad. Introdujo los conceptos de kets, bras y brakets.

Kets: Elementos de un espacio vectorial que se simbolizan con $\left|\Psi\right\rangle$ pertenecientes a un espacio de kets. Cabe resaltar que  $\left|\Psi\right\rangle$ y $a\!\left|\Psi\right\rangle$ representan el mismo estado físico.

Bras: Elementos de un espacio vectorial dual que se denotan con el símbolo $\left\langle\Phi \right|$ del cual se postula que para todo ket $\left|\Psi\right\rangle$ exite un único bra $\left\langle\Phi \right|$ y vice verza, con las siguientes reglas de transformación:

• $a\left|\Phi\right\rangle \quad\longleftrightarrow\quad \left\langle\Phi\right|a^*$
• $\hat{A}\left|\Phi\right\rangle \quad\longleftrightarrow\quad \left\langle\Phi\right|\hat{A}^\dagger$

donde $a$ es un número complejo y $A$ un operador sobre el espacio vectorial (ket o bra). Es decir:

• $\hat{A}\left|\Psi\right\rangle\equiv |\hat{A}\Psi\rangle$ es un ket
• $\left\langle\Phi\right|\hat{A}\equiv \langle\hat{A}\Phi|$ es un bra. 

Definición 1.1 Adjunto hermitiano: 

• El adjunto o conjugado Hermitiano, $a^\dagger$ de un número complejo $a$ es el complejo conjugado de este número: $a^\dagger=a^*$. 
• El Hermitiano adjunto, o simplemente adjunto, $A^\dagger$ de un operador $\hat{A}$ es definido por la relación $\left\langle\Phi\right|\hat{A}\left|\Psi\right\rangle^*=\left\langle\Phi\right|\hat{A}^\dagger\left|\Psi\right\rangle$.

Definición 1.2 Operadores Hermitianos y anti-Hermitianos: Se dice que un operador $\hat{A}$ es Hermitiano si es igual a su adjunto $\hat{A}^\dagger$, es decir;

\begin{align*}
\left\langle\Phi\right|\hat{A}\left|\Psi\right\rangle^*=\left\langle\Phi\right|\hat{A}\left|\Psi\right\rangle.
\end{align*}Por otro lado, un operador $\hat{B}$ es anti-Hermitiano si es igual a su inverso aditivo adjunto $-\hat{B}^\dagger$, es decir;
\begin{align*}
\left\langle\Phi\right|\hat{B}\left|\Psi\right\rangle^*=-\left\langle\Phi\right|\hat{B}\left|\Psi\right\rangle.
\end{align*}

Braket: O producto escalar, se define como el producto de un bra $\left\langle\Phi\right|$ con un ket  $\left|\Psi\right\rangle$ y su resultado es en general un número complejo, denotado por $\left\langle\Phi|\Psi\right\rangle$ con las siguientes propiedades:

•  $\left\langle\Phi|\Psi\right\rangle^*=\left\langle\Psi|\Phi\right\rangle$
•  $\left\langle\Psi|\Psi\right\rangle\geq 0$.

Según esto y el postulado anterior, es evidente que el producto Ketbra $|\Phi\rangle\!\langle\Psi|$ define un operador. 

Propiedades básicas de los operadores: (👈 de click para ver las demostraciones)

• $\big(\hat{A}^\dagger\big)^\dagger=\hat{A}$
• $\big(a\hat{A}\big)^\dagger=a^*\hat{A}^\dagger$ 
• $\big(\hat{A}^n\big)^\dagger=\big(\hat{A}^\dagger\big)^n$
• $\big(\hat{A}+\hat{B}\big)^\dagger=\hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger$
• $\big(\hat{A}\hat{B}\big)^\dagger=\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger$ 
• $\big(|\Phi\rangle\!\langle\Psi|\big)^\dagger=|\Psi\rangle\!\langle\Phi|$

Teorema 1.1 Si $A$ es un operador Hermitiano, y \begin{align}A^m|\alpha\rangle=0,\end{align} para todo ket $|\alpha\rangle$, siendo $m$ un entero positivo, entonces \begin{align}A|\alpha\rangle=0.\end{align} Prueba: Para demostrar el teorema tomemos en primer lugar el caso de $m=2$ y renombremos $A|\alpha\rangle$ en lugar de $|\gamma\rangle$. Aplicando las reglas de transformación y la segunda propiedad de los brakets resulta\begin{align}\langle\gamma|\gamma\rangle=\langle\alpha|A^2|\alpha\rangle=0\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm}A|\alpha\rangle=0.\end{align} Queda así probado el teorema para $m=2$. Ahora consideremos el caso $m>2$ y llamemos \begin{align}A^{m-2}|\alpha\rangle=|\beta\rangle.\end{align} Con esta notación, es claro que \begin{align}A^2|\beta\rangle=0. \end{align} aplicando el teorema para $m=2$, obtenemos \begin{align}A|\beta\rangle=0\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm}A^{m-1}|\alpha\rangle=0.\end{align} Iterando el procedimiento queda demostrado el teorema en el caso general.

Autovalores y autovectores 

Teorema 1.2 Dos autovectores de un mismo operador Hermitiano $A$ que pertenezcan a dististos autovalores son ortogonales.

Prueba: Para demostrar el teorema, consideremos dos autokets $|\alpha\rangle$ y $|\alpha'\rangle$ del operador Hermitiano $A$, que pertenezcan respectivamente a los autovalores $a$ y $a'$. Tendremos las ecuaciones \begin{align}\hspace{10.5cm}A|\alpha\rangle&=a|\alpha\rangle,\hspace{10.5cm}(1)\\\hspace{10.2cm}A|\alpha'\rangle&=a'|\alpha'\rangle.\hspace{10.2cm} (2)\end{align} Aplicando la definición 1.2 en $(1)$ se tiene \begin{align}\langle\alpha|A=a\langle\alpha|\end{align} que multiplicada a la derecha por $|\alpha'\rangle$ nos da \begin{align}\langle\alpha|A|\alpha'\rangle=a\langle\alpha|\alpha'\rangle\end{align} y multiplicando $(2)$ por $\langle\alpha|$ a la izquierda\begin{align}\langle\alpha|A|\alpha'\rangle=a'\langle\alpha|\alpha'\rangle.\end{align}Restando obtenemos \begin{align}(a-a')\langle\alpha|\alpha'\rangle=0,\end{align} que nos demuestra que si $\alpha\neq\alpha'$, entonces $\langle\alpha|\alpha'\rangle=0$, o sea que los autovectores $|\alpha\rangle$ y $|\alpha'\rangle$ son ortogonales. A este teorema se le da el nombre de Teorema de ortogonalidad.